Sarjana Manajemen: Deret dan Barisan

Prinsip-prinsip deret dan baris banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prisip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbukan.

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap, maka barisan ini disebut barisan aritmetika.

a. 2, 5, 8, 11, 14, ……………. ditambah 3 dari suku di depannya
b. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut
barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya
b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya

Deret adalah penjumlahan dari anggota-anggota suatu barisan.

Pada umumnya deret dan barisan dibedakan menjadi dua macam, yaitu Barisan/Deret Hitung (deret aritmatika), dan barisan/Deret Ukur (deret geometri).

Baris dan deret itu selalu berpasangan, sehingga banyak orang menggangapnya suatu kesatuan/ menjadi "deret" (baris dan deret). Maka kedepannya anggap saja (diasumsikan) deret dan barisan itu sama (satu paket). (Namun ingat, baris dan deret sebenarnya berbeda)

A. Baris / Deret Hitung (Deret Aritmatika)

Baris Hitung (Baris Aritmatika) adalah baris yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Contoh :

1) 1, 4, 7, 10, 13, 16 (pembeda = 3)

2) 90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda = -10)

Dua hal yang penting untuk diketahui atau dihitung dalam setiap persoalan baris/deret, baik baris/deret hitung maupun deret ukur, adalah besarnya nilai pada suatu suku tertentu dan jumlah nilai deret tersebut sampai dengan suku yang bersangkutan.

Sehingga, ada dua rumus yang digunakan dalam baris/deret hitung :

1. Mencari nilai suku ke n dari baris hitung

Sn = a + (n – 1) b

a = suku pertama

b = pembeda

n = indeks suku

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus. Untuk membentuk rumus yang dimaksud perhatikan Contoh berikut.

Contoh:

Nilai suku ke 101 dari deret hitung 3, 5, 7, 9, 11, … adalah….

Diketahui : a = 3 | b = 2 | n = 101

Ditanya : Sn?

Jawab : S101 = a + (n – 1) b

S101 = 3 + (101 – 1) 2

S101 = 3 + 100 ⨉ 2

S101 = 3 + 200

S101 = 203

2. Mencari jumlah nilai dari semua suku pada barisan hitung (mencari deret)

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1, atau a) sampai dengan ke-n (Sn) yang bersangkutan.

Dn = ½ n (2a + (n – 1) b)

a = suku pertama

b = pembeda

n = indeks suku

Contoh:

Berapa jumlah semua suku s/d suku yang ke 25 dari deret 3, 5, 7, 9, 11, …

Diketahui : a = 3 | b = 2 | n = 25

Ditanya : D25?

Jawab : Dn = 1/2 n (2a + (n – 1) b)

D25 = 1/2 25 (2.3 + (25 – 1) 2)

D25 = 12,5 (6 + (24) 2)

D25 = 12,5 (6 + 48)

D25 = 12,5 ⨉ 54

D25 = 675

B. Baris/Deret Ukur (Baris/Deret Geometri)

Baris Ukur (Baris Geometri) adalah baris yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku baris ukur dinamakan pengganda, yaitu merupakan hasil bagi nilai suku terhadap nilai suku didepannya.

Ada dua rumus yang digunakan dalam baris ukur:

1. Mencari Suku ke-n dari baris Ukur

Sn = a. p^{(n – 1)}

a = suku pertama

p = pengganda

n = indeks suku

Contoh:

Berapa nilai suku yang ke 6 dari deret 2, 4, 8, 16, 32, …
Diketahui : a = 2 | p = 2 | n = 6
Ditanya : S6?
Jawab : S₆ = a. p^{(n – 1)}
S₆ = 2. 2^{(6 – 1)}
S₆ = 2. 25
S₆ = 2. 32/
S₆ = 64

2. Mencari jumlah sampai dengan n suku (mencari deret)

Dn = a(1-p)ⁿ/1-p

Berapa jumlah semua suku yang ke 5 dari 2, 4, 8, 16, 32, …
Diketahui : a = 2 | p = 2 | n =5
Ditanya : D₅?
Jawab : D₅ = a(1-p)ⁿ/1-p
D₅ = 2(1-2)5/1-2
D₅ = 62

Sebagaimana akan dapat dijumpai dalam bagian atau bab-bab selanjutnya dalam postingan ini, prinsip-prinsip baris dan deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prisip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbuhan.

C. Penggunaan Deret dalam Ekonomi

Dalam bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret hitung atau deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevan ditetapkan untuk menganalisisnya.

1. Model perkembangan usaha

Jika perkembangan variable-variable tertentu dalam kegiatan usaha. Misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal. Berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut.

Berpola seperti deret hitung maksudnya disini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Contoh soal:

Besarnya penerimaan PT. ABC dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penrimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta?

Diketahui : S₅ = 720.000.000 | S₇ = 980.000.000
Ditanya : b, a, n dari Sn = 460.000.000?

Jawab : Sn   = a + (n – 1) b
720 = a + (5-1) b
980 = a + (7-1) b

720    = a + 4b
980      = a + (6b) –
-260     = -2b
130      = b

720 = a + (5 – 1) b
720 = a + 4 x 130
720 = a + 520
a = 720 – 520
a = 200
460 = 200 + (n – 1) 130
460 = 200 + 130n – 130
460 = 70 + 130n
n = (460-70): 130
n = 390:130
n = 3

2. Deret untuk bunga majemuk

Model deret untuk bunga majemuk (bunga berbunga) yaitu deret ukur khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan atau siapa saja yang melakukan transaksi hutang piutang dengan model ini dan transaksi ini biasa disebut kredit. Sacara sistematis dirumuskan :

Fn = P (1 + i) ⁿ

P = jumlah sekarang
I = tingkat bunga pertahun
n = jumlah tahun

Rumus diatas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungkan/ dibayarkan satu kali dalam satu tahun. Apabila bunga diperhitungkan atau dibayarkan lebih dari satu kali (missal m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam satu tahun maka jumlah dimasa depan menjadi:

Fn = P (1 + i/m) ^nm

m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun

Suku (1 + i) dan (1 + i/m) dalam dunia bisnis dinamakan “factor bunga majemuk” (compounding interest factor) yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari satu bilangan yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa yang akan datang dari suatu jumlah sekarang.
Dari rumus diatas dengan manipulasi matematis dapat dihitung nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (Present Value) dari suatu jumlah uang tertentu dimasa datang adalah:

P = 1/(1+i)ⁿ atau P = 1(1+i/m)^mn
suku 1/(1+i)ⁿ atau 1/(1+i/m)^mn dinamakan “factor diskon to” (discount factor) yaitu suatu bilangan yang lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.